单峰映射和混沌

混沌状态是系统的一种潜伏状态,偶尔在一些研究中看到混沌,在这里稍作总结。

单峰映射

单峰映射怎么翻译我也不太清楚,没有找到中文最权威的翻译。英文中叫做 “Logistic map”,翻译为单峰映射是因为几何上,Logistic map所表示的是单峰函数的映射关系。从 “Logistic” 可以看出它可能和指对数有联系,确实,单峰映射在数理统计里有着很强指数函数的特性。也有人翻译为逻辑映射或者直接音译为逻辑斯谛映射。

单峰映射是两变量的多项式映射,本质就是递推。1976年,生物学家Robert May首先使用单峰映射来描述一种人口模型,在总人口容量有上限的情况下,根据出生死亡率来预测人口的变化。

$x_{n}$ 在0到1之间,用来表示第n年人口占总人口比例。r取值为[0,4],表示某种出生率和死亡率的关系。

r的影响

当r改变的时候,单峰映射图形也随之改变,具体的讨论不赘述了,动画表示了从r从[0,4]的变化。

logistic_r

二分图显示出了不同r的时候出现的不同状态的渐近线,数值在不同渐近线中震荡。二分图显示出了相似性,以任何一支渐近线看剩下部分都是原图的比例缩放,这也是指数的特征。所以是指数发散的。

Logistic_Bifurcation_map

混沌

混沌就是对初始条件有高度灵敏度。当r在[3.57,4]区间时,大部分数值可以都可以使单峰函数出现混沌特性。灵敏度高是因为映射重复的拉伸和折叠定义成空间。

随着迭代,系统开始以李雅普诺夫指数发散。初始值非常小的误差在进化迭代的过程中将会造成巨大的差别。这种不可预测性在早期计算机中用来产生伪随机数。

cobweb图可以用来分析系统的混沌特性。

LogisticCobwebChaos