复数的矩阵表示

复数的本质是找到一个域,在这个域中可以解决类似 $x^2+1=0$ 这种在实数域R下不能解决的问题。

Ahlfors在《COMPLEX ANALYSIS》一书中给出一种枚举 $\alpha+\beta i$ 构造复数域的方法并且给予证明。当然,还有其他的构造方法。

复数可以用类似平面的方式表示,在复平面中,横轴表示实数,纵轴表示虚数。但是复数域和平面空间并不是同构的。因为他们的维度不同。此外,在平面空间,并没有所谓的向量乘法,如何在平面空间使用乘法运算?

引入矩阵( $\alpha$, $\beta$ 都为实数):

用矩阵表示复数。

定义:

加法:

乘法:

将矩阵分解:

其中

另外,复数的共轭实际上是矩阵的转置。

复数的模为矩阵的行列式。
使用极坐标的转换公式可以得到复数在极坐标下的表示。

使用矩阵表示的好处,可以把复数的乘法和旋转联系起来。复数的乘法实际上就是在复数域上的旋转,2*2矩阵表示的就是平面上的旋转操作。