Complex Analysis-Ahlfors学习笔记

书名:《COMPLEX ANALYSIS》
An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable

作者: Lars V. Ahlfors
哈佛大学 数学系

版本: 3rd

Complex analysis-Lars V. Ahlfors.jpg

第一章 复数

1.1 复数的代数表示

1.1.1 算数操作符

  • 复数代数表示:
  • 实数的运算对复数同样适用,包括加减乘除

  • 1 $i^n$ y有四种可能值

1.1.2 平方根

要注意选择符号符合的解。

1.1.3 证明

回顾一下实数,用符号R表示。首先R是一个域(field),这说明加法和乘法(addition and multiplication)是定义了的并且满足交换律(commutative law),结合律(associative law)和分配律(distributive law)。0和1分别是加法和乘法的中性元素(neutral elements)。与未知数相加相乘(本身不为0)都有解。每个域都是整环。

关于整环,交换环,参考抽象代数(abstract algebra)。

此外,域还有个特性是顺序关联(order relation)。(1) 0 不是正数; (2) 如果a不等于0,a或者-a是正数; (3) 正数相加或者相乘还是正数。

最后,R满足每一个增加和有界的序列都有限制。

但是,$x^2+1=0$在R上没有解。假设有一个域F包括R,在F内,方程有解,为i,-i。再假设F内的子集域C,包括所有的 $\alpha+\beta i$。 不同的F得到不同的C,计为C‘,C和C’是同构的(field isomorphism)。

现在还没有证明F也存在同样的性质。

最简单的构造方法,枚举所有的 $\alpha+\beta i$(+和i仅仅当作符号)。定义加法和乘法。定义形式 $a+0i$ 是和R同构的子域,元素 $0 + i1$ 是$x^2+1=0$的解。得到 $(0 + i1)^2 = -(1 + i0)$。F域因此满足了要求,而且和C相同。

复数域的存在得证。

1.1.4 共轭和绝对值

因为方程有两个根,所以i和-i有相同的属性。用-i代替i就得到共轭。
对于复数 $a$ 有共轭 $\bar{a}$, 有如下属性:

|a|被称做模或者绝对值。绝对值有属性:

注意共轭和模的关系,相似的,在电力系统中,总功率也是PQ的共轭乘积。

1.1.5 不等性

复数空间没有顺序关系,所以比较大小必须要用实数。
三角不等式(triangle inequality):

注意柯西不等式和拉格朗日恒等式
模平方=点乘平方+叉乘平方