MIT多元微积分三:二重积分和线积分

1. Double Integrals 二重积分

回顾单变量积分,积分可以看成函数与坐标轴所围成的面积。

1.1 Definition of Double Integration 二重积分定义

二重积分可以理解成二元函数下围城的体积。对区域R做积分,R为积分域,dA表示的是一小块面积。

将区域R分成多个小块,对每块面积取极限

这就是二重积分的定义。

但是,对体积取极限不是计算积分的常用算法。这样来考虑阴影部分体积,用一些平行的平面扫过定义域,在每个切面上,就会出现但变量积分所表示的面积。当把所有这些面积加起来时(积分),就得到了阴影部分的体积。

定义 S(x) 为平行于yz面的切面,切面的厚度取极限为dx

下一步,计算每个切面的S(x),这是一个一次积分,x是定值,指的是某一个切面。y的积分域随x变化

将两个积分结合到一起,就是一个非常重要的概念,累次积分(interated integral):

计算累次积分就是分别对变量进行一次积分。

1.2 Examples of Double Integration 二重积分例子

例1

计算以下函数的积分,x,y的区间都为[0,1]:

这是最简单的情况,x和y的取值互相独立。积分域为矩形,阴影部分体积为所求积分。注意一部分在xy平面上方,为正,一部分为在xy平面下方,为负。

首先计算内积分:

其次计算外积分:

例2
计算以下函数的积分, 积分域为x,y>0,并且图像大于xy平面的部分

y的取值依赖于x,此时的积分域为四分之一个圆。

内积分:

外积分(用到三角变换,在极坐标下更好计算):

1.3 Exchanging the Order of Integration 交换积分次序

几何学上,交换积分次序是有意义的,从不同的方向对积分域做切面。

交换积分次序也可能会让计算变得简单。改变积分次序,要考虑取值范围。

积分域:

内积分:

外积分(不定积分):

1.4 Double Integrals in Polar Coordinates 极坐标的二重积分

考虑之前的例子:

在直角坐标系下,算这个积分并不容易。用极坐标代替直角坐标。

极坐标下,二元函数的几何意义是相同的,即函数与定义域围成的体积。

doubleIntegralPolar.gif

将定义域直角坐标系的x和y分别替换成对应极坐标系的 $r$ 和 $\theta$,同理,定义域可以细分为无数的小块,先来计算每个小区域的面积。

polarInetegral.png

注意不是:

当面积足够小时;

再来看看被积分的函数:

由于有直角坐标系和极坐标系的转换公式:

得到最后极坐标下的积分公式:

内积分:

外积分:

这个例子是幸运的,当从直角坐标系变换的极坐标的时候

  • 积分区域更加简单
  • 积分对象更加简单

但是一般来说,这种转换总会有牺牲的。

  • 积分区域不确定,大部分情况下,首先给定角度,对r做积分
  • 积分对象变复杂,因为引入了三角函数

1.5 Applications: Mass and Average Value 应用:质量和平均体积

跳出二重积分的几何意义是求体积的观念,现在看下更广泛的应用

计算某区域的面积

一说计算面积,很容易就让人联想到,这是一重积分的工作,但是二重积分也是可以算面积的。面积可以看作是对小区域 $\mathrm{d}A$ 求和:

计算平面物体的质量

我们都知道,

可以对密度做积分得到质量,但这是三重积分的工作。注意二重积分只能处理平面。

但是考虑一个平面物体,比如金属板,就可以用二重积分计算了。平面金属板的质量是板上每一小片质量的总和。一个平面物体的密度是每单位面积元的质量,因此可以对密度积分求平面物体质量。
使用 $\delta$ 表示密度

在区域R上求函数f的平均值

大家都知道有限数据集平均的意义,比如一个班的考试平均成绩。但是无限数据集呢?

测量一个空间的平均温度,更高的准确度要求更多的测量点。数学上定义连续数据集合的平均值的方法是对整个数据集合的函数做积分,再除以这个集合的大小,也就是区域的面积。

这个平均值对各点的权重是一样的。如果是加权平均则在积分内乘以权重系数。

平面物体的质心

centerMass.gif
在直角坐标系下,物体的质心在(x,y)的加权平均处。

1.6 Applications: Moment of Inertia 应用:转动惯量

质量是使物体平动的困难程度。
转动惯量用来描述刚体转动时的惯性,和质量不同,和旋转轴有关。

Moment of Inertia

质点的动能:

距离质点o的r处有一点m,角速度为w:

所以,转动惯量的定义为:

一个大物体的转动惯量是所有小物体的转动惯量总和。

关于原点的转动惯量

如果沿着x轴转动,质点到x轴的距离为|y|,表示了沿着x轴转动的难度。

同理,我们可以求出刚体绕任意轴转动的公式,只要能够找到每个点到转轴的距离。

例子:
一张正在播放的碟片,设密度均匀为1

flatdisc.png

这就是沿着中心点转动碟片的难度,再来看下飞盘,飞盘沿边界处一点转动
飞盘

如果飞盘绕着边界一点旋转会比绕中心旋转难3倍。

1.7 Change of Variables 变量转化

知道如何在直角坐标系中处理二重积分,也知道直角坐标系和极坐标系的互相转换,一般情况下,变量变换更加普遍。这一节讲如何在二重积分下做变量变换。

计算椭圆的面积

例1: 计算一个以a,b为半轴的椭圆面积。

ellipsoid.png

可以在直角坐标系下求面积,但是我们发现并不容易。椭圆是一个被压扁的的圆,直接使用极坐标也不方便。所以首先,要简化:

椭圆的参数变换后,是一个单位圆,这样椭圆的面积就好算了。

ellipsToCircle.gif

用变量替换的方法会使问题变得简单。
如果问题进一步复杂,就要使用更普遍的方法。关键问题是:比例因子(scaling factor)是什么?dxdy和dudv之间的关系是什么?

线性变换

例2: 定义:

这样做的目的,不是简化积分就是简化积分限。(simplify the integrant or the bounds)
单位面积:

要明确的是,这种线性变换将所有的直线进行相同的变换,而且可以找到一个常比例因子(constant scaling factor).变换的四边形并不会因为位置的改变而改变。
定义比例因子:不受位置选择的影响。因为这是对变量的线性变换。

rangeChange.gif

平行四边形的面积可以通过行列式来求:

负号仅仅表示方向相反。
所以

面积变为原来的三倍,方向相反了。

还有件事情要注意就是积分限也跟着变化了。

定义:

通常情况:

使用矩阵表达:

当进行线性变换的时候,变换矩阵的行列式代表缩放面积系数。(可以带入验证)

变量替换的雅可比矩阵(Jocabian)表示

注意这里没有真的在求偏导数,只是表示dudv和dxdy之间有比例关系的表达方式。

例子:极坐标

回顾直角坐标系到极坐标系的变化就是将 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 变化为$r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。现在用新的知识来解释下到极坐标的变换。

已知变换公式为:

极坐标变换的雅可比矩阵的行列式为:

所以:

补充:
如果计算从xy到uv的雅可比变换矩阵,这个矩阵和uv到xy的变换矩阵互为倒数。

一个完整的例子:

不通过变量变换,这是一道很简单的题目。现在强行进行一组变量变换。

第一步:找到单位面积元
通过雅可比,

第二步:得到被积函数

第三步:确定积分区间
这一步是最难的,这里给两种思考方案:
方案一:在xy域上找区间

变量变化区间一

先看内积分的取值范围,即u的取值范围,先将v看做定值。黄线是v取不同值时的函数轨迹,我们关心的是这些黄线在什么时候进入XY的区域,什么时候离开,这就是u的积分空间。很明显,在y=1时,有u=v,在x=1时,有u=1。得到u的积分区间为[v,1]。

在看外积分的取值范围,xy最小值为0,最大值在XY区间的右上角,为1。所以v的积分区间为[0,1].

方案二: 在uv域上找区间
把xy域上的所有边界都变化到uv上

变量变化区间二

最后得到变换变量后的积分:

2. Vector Fields and Line Integrals 向量场和线积分

2.1 Vector Fields 向量场

向量场就是向量构成的一种形式。分量M和N是位置x,y的函数。

这说明平面上的每个点都对应一个向量。向量场的例子也很普遍,比如说这是一张风向图,向量场存在于每一点处。而向量都依赖于点的位置:
wind_vector

还有一个更加直觉的例子就是地球的重力场,无论在哪里放置一个物体,这个物体都会受到向下的重力。

现在要从数学的角度去理解向量场,所以可以不用关心这些向量具体是什么。

要研究向量场,首先要知道怎么画出这些向量。

vector1

注意可能会混淆的地方,向量坐标和位置坐标是不同的,在这个例子中不同的位置有同样的向量。

j分量为0,只有i分量,向量场是水平的。关键是要知道这些向量的长度是多少。长度取决于x:

vector2

这个向量场是从原点放射状的向量,随着距离原点的距离增大而增大。
vector3

在每个点(x,y)处的向量是(-y,x),相当于位置向量逆时针旋转90度。离远点越远,向量越大。这与流体运动时,绕着某点匀速转动时形成的向量场一致。这就是匀速转动的速度场,并且各点绕原点一圈的时间是2pi。
vector4

知道向量场后有很多东西可以学习,现在从力对物体做得功为突破口来深入了解下向量场。

2.2 Work and Line Integrals 功和线积分

考虑某个位置上有一个力,如果某个质点受到外力的作用,质点的运动就会形成轨迹。外力所做的功就等于外力与位移向量的点积。但是,如果质点的运动轨迹非常复杂或者外力不是恒力,这时就需要做积分了。这就是线积分。

$\Delta \vec{r}$ 表示的是位移,是位置向量的改变量。

work vector field

功的计算是将移动路径分成许多小段,每一小段都有一个与之对应的向量,并求出每个向量与对应外力的点积,在把所有点积加起来。

沿着某条轨迹C,外力所做的功等于其积分。表示为:沿着轨迹C,F与dr的点积的积分:

可以这样去想,这是一个极限,我们把轨迹切割成非常小的线段,求出所有给定点的点积之和:

所以原式:

例子

这个向量场让所有的点绕原点旋转。

lineIntegral

几点思考:

为什么不直接使用dr?
因为dr不是常规变量,很难处理,这里只把它当作符号就好了。r不是标量,而是位置向量,所以不能求F对于r对积分,因为无法对向量求积分。

如果质点从A到B沿着其他路径,力做功是否相同?
肯定是不相同的,假设在x轴上有一点c,从原点到c力是不做功的,从c到b明显力做功和原点到b所做功不同。考虑线积分的定义,线积分的值,取决于从a到b的路径。这就是为什么要使用曲线的参数方程。外力做功与路径有关。

如果外力作用导致的质点轨迹改变,力做功如何计算?
这就需要解微分方程了,从微分方程中可知质点的运动轨迹。

另一个角度来思考

F有两个分量,dr也有两个分量:

注意后者虽然形似向量,却不是真正的向量。这样线积分的方程就可以写成这样:

现在已经不是向量场而是微分运算了,但是他们的本质是相同的,所以关键在于如何计算这个积分。对于这个积分,M和N都依赖于x和y,如果仅对其中一个求积分,那么另一个就不能够被消掉。难点在于x和y互相关联。那么有人就会想到使用变量转换,但是无论怎么变换肯定会存在两个变量。实际上,曲线c只有一个参数,最终我们希望只剩下一个变量,这样就成为求单变量积分的问题了。解决的办法是:把x和y写成含有同一个变量的式子,然后用这个变量替换x和y。

注意:
线积分只取决于轨迹C,跟如何参数化无关。所以只要能简化成任何一个参数都行,比如使用极坐标。

2.3 Geometric Approach 几何法

首先来看看向量dr的含义。什么是向量 $\mathrm{d}\vec{r}$,什么是向量 $\Delta \vec{r}$ ?

ineTangent

在轨迹上取非常小的一段,$\Delta \vec{r}$ 的方向就是向量的方向,它与单位切向量 $\vec{T}$ 有相同的方向。所以,$\Delta \vec{r}$ 的长度就是就是轨迹上的弧长,记为 $\Delta s$。这个向量方向沿着切线方向,大小为轨迹的弧长。

F和T的点积是一个标量,几何上表示外力投影到轨迹切线方向的成分,然后求出这个成分在曲线上的积分。结果是一样的,但是这种思考方法会让问题变得简单。

回顾上一个例子,使用几何法,对每一小段轨迹所受力在切线方向的投影总和,与积分得到的结果非常近似。

lineIntegralTangenta

例子

轨迹是以原点为圆心a为半径的圆,逆时针旋转,向量场为:

对于这个例子,采用几何法,在轨迹上任意一点,外力恒垂直于运动方向,所以做功为0。

lineIntegralCircle

现在考虑,轨迹不变,向量场为:

这时,F与切线方向相同

lineIntegralCircle2

总结

线积分的三种思考方式:

  • 单变量的向量积
  • 多变量的微分
  • 几何法

2.4 Example: Line Integrals for Work 例子:功的线积分

回顾一下线积分:
平面上有一曲线C,有一向量场来描述每一个点上的向量,我们要找出沿着这条曲线所做的功:

三个公式分别为定义式,几何表达式和直角坐标系下表达式。

例子:

在向量场yi+xj里,质点沿一扇形轨迹运动,扇形轨迹由三部分构成。

lineIntegralFan

要计算这个线积分,只要三段分别求和再相加就可以了。

c1:
从(0,0) 到(1,0),y=0, dy=0

c2:
单位圆的一部分。根据圆的参数方程:

c3:
参数化这条路径:

更简单的表达,使用c3的反向路径:

总功:

2.5 Fundamental Theorem for Line Integrals 线积分的基本定理

怎么避免计算?
当多元方程存在的时候,就有梯度向量。但实际上,是一个向量场。在这种特殊情况下,向量场实际上是一个函数的梯度,也就是梯度场。f是关于x和y的函数,称为向量场的势函数(potential)。

在物理学中,计算重力或者电场所做的功,只需要计算起点和终点的势能差,与路径无关。

一个微积分的基本定理是,如果对函数的导数积分,就可以得到原函数。多元微积分也一样,如果对函数的梯度做线积分,也可以得到原函数。

基本定理:
如果沿轨迹对向量场,即方程的梯度做线积分,其结果为原方程的终点与起点值之差

注意:非常有局限性,仅仅在向量场是梯度的情况下才满足。

来看看基本定理的物理和几何解释。

对梯度积分,其实是对函数的导数积分:

证明:

例子

回到最开始的例子,向量场为:

lineIntegralFanPlot

图像显示了等高线和向量场的重合,可以看出,向量场垂直于等高线,所以也是梯度。由于在同一等高线上,各点的值相等,物理上可以理解为势能相等。再来看扇形的运动轨迹,从一条等高线移动到另一条等高线,再移动回原来的等高线,做功为0。

物理上来说,重力场,电场都是势函数的梯度场,但是有很多的向量场不是梯度场,比如说磁场。

2.6 Conservative Fields, Path Independence, Exact Differentials 保守场,路径独立和恰当微分

如果F是梯度场,会得到什么结果?
梯度场做的功有很多漂亮的性质,但是它们是特殊的向量场。梯度场有这样一些特殊的性质:

  • 路径独立(path independent)
    如果要计算线积分,无论两点间路径如何,积分值只跟起止点有关。只有在梯度场里才成立。如果c1,c2有相同的起止点:

  • 梯度场是保守场(conservative)
    保守这个次来源于物理学,是说能量的守恒。在这个场中,不可能无偿地得到能量。如果有一条曲线C是闭合曲线,曲线上从一点出发最后会回到同一点上。沿C所做的功为0。这就是“保守”的定义。

    不保守意味着沿着曲线一圈所做的功不为0。

不是所有的向量场都是保守场,回忆一下之前的例子

notConservativeField

这个向量场绕着原点逆时针旋转,也不是任何函数的梯度。也不是路径独立的。

来一些物理学的知识(不考虑正负号):
力场是某种势的梯度。力F做的功就是势的变化。保守性说明不能够从场中无偿提取能量(不然就是永动机了)。总能量守恒。

等价性质:

  • (1)向量场保守。所有闭合曲线线积分是0。
  • (2)线积分路径独立。闭合曲线起点终点相同,差为0。
  • (3)场是梯度场。
  • (4)恰当微分Mdx+Ndy可以写成某个函数f的微分形式。

如果重力场不是保守场的世界:
AscendingAndDescending1
AscendingAndDescending1

2.7 Gradient Fields 梯度场

如果向量场是梯度场:

那么它的线积分可以用势函数的起终点的差值来表示:

此时线积分只和我们选择的起点终点有关,而与路径无关。称为积分路径无关或者路径独立(Path Independence)。

向量场是保守场,如果给定一条闭合曲线,沿闭合曲线做功为0。

向量场是梯度场,路径无关,保守场三个性质是等价的。

那么,如何判断向量场是梯度场,怎么找出势函数呢?
首先,如何判断向量场 $\vec{F}=\left \langle M,N \right \rangle$ 是不是梯度场?

如果一向量是梯度场,那么向量场的第一个分量是关于x的偏导数,第二个分量是关于y的偏导数,即:

因为关于二阶导数的一个性质,交换求导次序,结果一样:

所以:

如果一个向量场是梯度场,它肯定满足这个性质,x分量关于y求导和y分量关于x求导结果是一样的。

相应的,反过来思考,(一个不太准确的定义)如果向量场在平面内处处有定义,并且:

则向量场是梯度场。

例子1:

这是一个以单位速度旋转的向量场,我们已经知道这个向量场不是梯度场。因为在单位圆上积分是个正值而不是0。

现在就来验证一下:

所以该向量场不是梯度场。

例子2:

当 a = 8 时,向量场时梯度场。