MIT多元微积分一:向量和矩阵 笔记

1. Vectors, Determinations and Planes 向量,行列式和平面

1.1 基础

向量是一个既有大小又有方向的量。with both direction and magnitude/length。通过带箭头的直线将向量直观的表示出来。引入空间直角坐标系和单位向量是向量间计算的基础。

Pythagorean theory 毕达哥拉斯定理,勾股定理

计算向量的长度 $\left | \overrightarrow{a} \right |$,多维向量还是通过勾股定理计算。

向量的加法

向量是头尾加法,同一方向可以进行标量加法。

1.2 Dot Products点积

两个向量相乘,结果是标量。几何意义是计算两个向量的夹角,以及在某一方向上的投影。

定义:

dot product 向量点乘

点积的几何意义:$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left | a \right |\left | b \right |\cos(\theta)$

证明:

根据余弦定理:

所以:

1.3 点积的应用

  • 计算长度和角度
    计算向量的角度的时候,先算出来的是cos,有趣的是cos的符号
    • sign>0,锐角
    • sign<0,钝角
    • sign=0,直角
  • 检测正交
    $x+2y+3z=0$ 的点集是什么形状? 平面
  • 向量沿一个方向的成分,单位向量
    • 计算悬挂摆,分解力

1.4 Determinations 行列式

如何计算几个向量围成的面积?
三角形的面积怎么计算?

奇妙的是,这和底乘高的得到结果一样。
再算出余弦,带入,会很麻烦。

下面的内容会非常有趣

determination 行列式

考虑两个向量,$\overrightarrow{a}$ 和差90度的向量 $\overrightarrow{a’}$

发现行列式代数上是余向量的点积,几何上行列式的绝对值是向量所围成的面积。
Area=abs value of det.

1.5 空间行列式

高维行列式计算方法,扩展:奇正偶负。正负是因为改变了空间的方向。更复杂的内容会在18.06讲解。

几何学上,三维行列式就是长方体体积的加减。

1.6 Cross product 叉乘

三纬空间的两个向量
定义:

叉乘的结果是个向量。

  • $\left |\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B} \right |$ = 向量围成平行四边形的面积。
  • $dir(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})$ 垂直于两向量所在平面
  • 向量方向的判断的方式为右手法则
    • 右手指向向量A的方向
    • 手指指向向量B的方向
    • 竖起大拇指,拇指方向为叉乘方向

例子:
右手法则

关于空间体积的一些观点
前面说到三维行列式的几何学意义就是体积。

volume

补充
$\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$ 和 $\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{A}$ 由于方向的原因,是完全相反的。
$\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{A}=0$

1.7 Equations of planes 平面的方程

这一节主要讲的是叉乘的应用。

如何已知三点构成的平面,和另外一个点P,如何确定点P在这个平面上。

一个方法是:

带入 $P(x,y,z)$ 就得到平面的方程。

另一个方法:如果P在平面上则可以推出

$\overrightarrow{n}$ 是平面法向量(normal vector)。
最后得到了一个我们很熟悉的公式,也是计算体积的公式:

这个形式在向量计算中有个别名,叫做三重积(Triple product),和行列式是一回事。

2. Matrices and Systems of Equations 矩阵和系统方程

为什么要使用矩阵,使用矩阵的动机是什么

在生活中,我们接触的很多东西都是线性的,或者需要简化成线性的。多个等式的联立得到的就是矩阵了。联立方程就是矩阵乘法。

2.1 Matrix Multiplication 矩阵乘法

举个熟悉的鸡兔同笼的问题. 鸡和兔共有 $a$只,共有脚 $b$ 个,用矩阵去表达这个问题。

假设有鸡$x$只,兔$y$只

用矩阵乘法表示:

通用的数学符号表达方式为:

在矩阵和向量中的每一个值都叫做元素(entries)
在计算矩阵乘法 $A\cdot B$ 时,每个元素都可以通过A矩阵的行和B矩阵的列做点乘得到。A矩阵的宽度必须要等于B矩阵的高度

矩阵乘法示意图

AB的乘积代表先做变换B再做变换A。我们习惯从左往右,但是矩阵计算是从右往左。直观的解释就是如果有两个连续的方程 $f(g(x))$ ,先要计算 $g(x)$, 再做 $f(x)$。

矩阵的结合律(associativity)

补充

Identity matrix 单位矩阵

单位矩阵即对角全为一的矩阵。是一种“可有可无”的矩阵,单位矩阵的变换叫做恒等变换。

在平面上,做90度逆时针旋转的变换

旋转90度

变换矩阵的每一列说明了对要变换的对象进行什么操作。
R的第一列就是对第一个基向量做R变换的结果,第二列是对第二个基向量做R变换后的结果。

最有意思的是,通过矩阵计算大大简化了需要用公式计算的计算量,如果考虑连续做两次90度逆时针变换:

2.2 Matrix Inverses 逆矩阵

如果定义A的逆矩阵为M,则有

这里A需要是 $n\times n$的方阵,如果不是方阵的情况不在这里讨论。

对线性系统 $AX=B$ 的解可以使用逆矩阵。等式两边同时乘A的逆矩阵

公式(适合小矩阵)

adj(adjoint)是 伴随矩阵

步骤(3*3矩阵)

1.首先要做的是,是找一个叫 余子式(minors) 的东西。

余子式是去除了一些元素的行列式。要找到A矩阵一行一列的余子式,去掉这个元素所在的行和列,计算剩余部分的行列式,即

得到矩阵A的余子式:

2.找到另外一个矩阵,叫做 代数余子式(cofactors)
代数余子式就是给余子式加上符号。根据棋盘图所示,+表示保留余子式值,-表示反转余子式的值。顺便一提,棋盘法可以同样用来做叉乘的符号判定。

棋盘图

得到代数余子式:

3.转置(transpose),得到伴随矩阵
行列互换

4.除以行列式

2.3 Equations of planes 平面的方程再探

之前学习点积的时候就知道如何去检测正交或者垂直。平面的公式是:

平面方程

第一种情况,平面过原点,知道法向量 $\overrightarrow{N}=\left \langle 1,5,10 \right \rangle$ , 对于在平面上的点 $P(x,y,z)$ , 有:

第二种情况,同样的法向量,平面过 $P0(2,1,-1)$

总结下两种情况下的特点:

  • 不同情况等式右边常数项不同
  • 常数项是平面的平移距离的一个表示
  • 等式左边的系数刚好和法向量对应

一个有意思的事情是,这里又和叉乘联系起来了。平面方程的系数就是法向量,如何得到法向量呢?叉乘。 点乘,平面,叉乘就这么在一起了。

举个例子:

向量 $\overrightarrow{v}=\left \langle 1,2,-1 \right \rangle$ 和平面方程 $x+y+3z=5$ 是什么关系?

快速确定平面方程的法向量,发现和已知向量不成比例,但是点积为0,说明向量垂直于法向量,所以和平面是平行的。如果把平面移到原点,如果向量和平面平行,向量的末端就在被移动到原点的平面上。

2.4 Linear Systems and Planes 线性系统和平面

线性方程组的几何意义。
线性方程组,对于三纬空间来说(3*3线性方程组),方程组的每一个方程决定一个平面。解方程组的本质就是找平面的交点。
一般会有这三种情况:
三条交线交于一点:有唯一解

三面交于一点

平面交线平行:没有解,条件矛盾,无法同时满足
交线平行

平面交线重叠:有无数解,条件不足

交线重叠

讨论下平面方程关于常数项d,d的数值并不是平移的距离,常数项除以法向量的长度才是平面到原点的距离。

将这个问题回归到从代数上,矩阵不一定能够求逆是因为行列式有可能为0(矩阵的求逆公式)。所以,矩阵的行列式不为0,矩阵可求逆,方程组有解。

行列式不为0是三个平面有唯一交点的情况,行列式为0是交线平行的情况。

2.5 Solutions to Square Systems 方阵系统的解

这一节从另一个角度去认识行列式为0,为什么方程会没有解。

有一种方程组叫做 齐次方程组(homogeneous systems), 特点是常数项全部为0。方程组各项次数整齐,在数乘运算下不变。

齐次方程总是存在一个平凡解(trivial solution),即原点。几何学表示三个平面都过原点。

第一种情况,A的行列式不为0

原点是唯一解。

第二种情况,A的行列式为0
我们知道A中的项是方程组的系数,而方程组的系数又是平面的法向量。行列式为0,说明三个平面的法向量的行列式为0:

这就意味着三个法向量共面(coplanar)(参考上一章)。用这三个法向量围成了一个不占任何体积的平行六面体。

证明有无穷多解:
存在一条垂直于三个法向量所在平面且过原点的直线,平行于三个平面,而且现在面上,所以存在无穷多解。

如何求出这些解:
对法向量做叉乘,这就是方程的非平凡解(nontrivial solution)


如果是一般情况,系统不再是齐次方程。

if $\det(A) \neq 0$

if $\det(A) = 0$ 无解或无穷多解

3. Parametric Equations for Curves 直线和曲线的参数方程

3.1 Equations of Lines 直线的方程

直线,可以用两个平面的交集表示,但这种方法并不高效率。更好的办法是 把直线当作运动点的轨迹。轨迹就是 参数方程

例:确定经过点 $Q0=(-1,2,2)$ 和 $Q1=(1,3,-1)$ 的直线。
定义Q(t)是一个移动点,在t=0时刻,在Q0点。在直线上做匀速运动,在单位时间内,到达点Q1。直线的方程问题就转化为当时刻为t的时候,点Q(t)在什么位置?

分别以x(t),y(t),z(t)表示Q(t)的坐标,可以得到直线的参数方程:

等价于:

常数项(-1,2,2)是t0时刻的位置,一次项(2,1,-3)就是向量P0P1,告诉了点应该移动的方向。

3.2 Intersection of a Line and a Plane 直线和平面的相交

得到了直线的参数方程,再来一个平面 $x+2y+4z=7$,平面和直线是否相交,交点在哪里。如何判断点相对于平面的位置。
将点的坐标带入平面方程,可判断点相对平面的位置。带入参数方程,可以求出交点。带入方程实际上是运动轨迹和平面法向量做点积。 如果t的系数为0,说明运动轨迹平行于平面。等式成立说明轨迹在平面上。

3.3 General Parametric Equations: the Cycloid 参数方程组:摆线

除直线外,更普遍的是点的任意运动,如何用参数方程表示,以摆线为例子。
摆线:半径为a的轮子,沿着x轴方向滚动,轮子边缘上的一点产生的轨迹。
Cycloid

参数有很多种选择,这里使用角度代替时间参数t,这样可以使结果更加简单。

Cycloid

得到P的参数方程为:

3.4 Point (Cusp) on Cycloid 摆线的顶点

仔细思考,摆线在接近底面的时候到底是什么样子?
摆线的顶点

想要知道原点处到底发生了什么,就要自己的研究参数方程了,首先要做的就是近似。大家都知道的是,当角度足够小的时候,

但是将这个近似代入原参数方程中,并不能提供好的结果,我们需要更加准确的近似:泰勒展开

定理:
设 n 是一个正整数。如果定义在一个包含 a 的区间上的函数 f 在 a 点处 n+1 次可导,那么对于这个区间上的任意 x,都有:

其中的多项式称为函数在$a$处的泰勒展开式,剩余的 是泰勒公式的余项,是 $(x−a)^n$ 的高阶无穷小。

得到三角函数的三阶泰勒展开:

当半径为1,这时候的参数方程变成:

在原点处的斜率,当角度足够小时:

说明摆线在原点处有一个垂直的切线,选项是d。

3.5 Velocity and Acceleration 速度和加速度

不用泰勒展开,换一个思路来研究点的运动,还是摆线,看看摆线的速度和加速度

位置向量 可以表示任意时刻的点的坐标,角度和时间成正比,半径为1,以单位速度运动的摆线:

速度向量(Velocity vector):

在t=0时刻时,速度为0。
速率(speed):

当$t=\pi$时,瞬时速率最大,这是点的运动速度是轮子速度的两倍。
加速度(Acceleration):

在 t=0 时刻时,

说明摆线在原点处只有垂直于x轴的向上加速度。

3.6 Velocity and Arc Length 速度和弧长

单位切向量(unit tangent vector): 用来表示轨迹运动的方向。
单位切向量

弧长(arc length): 点运动沿着轨迹的长度。

求摆线的弧长,需要对速率进行积分

发现,这个积分不太容易算。怎么用向量的思想解决问题呢?重新来看速度向量,我们把它分解下

发现第一部分近似于切向量,第二部分是速率,为什么可以把第一部分近似为切向量,如图所示:
近似为单位切向量
由于移动的距离s是位置向量的模,在单位时间段足够小时,就可以近似的认为两者的比例为单位切向量:

现在新的速度方程也是又有大小,又有方向,而且聪明的使用了切向量的概念。

3.7 例子:Kepler’s Second Law 开普勒第二定律

这个例子说明为什么用向量的方法去分析运动是很好的方法。

普勒第二定律:
1.每个行星的运动都保持在一个平面内。
2.在相等时间内,太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

开普勒第二定律

根据开普勒第二定律,叉乘的模是常数,向量叉乘的方向是常数。也就是:

加速度是和位矢平行的。由于加速度由万有引力引起的,这个力是永远指向施力物体的,也就是太阳。现在发现,在向量的观念里,开普勒第二定律和牛顿万有引力定律有着异曲同工的妙处。